안 before the verb means simply not: 안 가요. 못 means unable, whether through circumstance or ability: 못 가요. Both have longer forms placed after the stem - -지 않다 and -지 못하다 - which sound more formal but mean the same.
Examples
- 메시지를 이해하지 못했어요.
- I could not understand the message.
- 어제부터 작동이 안 돼요.
- It has not been working since yesterday.
- 고객센터에서 아무도 안 받아요.
- Nobody is answering at customer service.
The mistake to avoid
안 is a choice not to; 못 is an inability to - they are not interchangeable.
Where this fits in
전화, 메시지, 작은 문제들, Korean A2: 전화하고 메시지를 보내고, 사과하고, 오해를 풀고, 도움을 요청합니다 - 일이 계획대로 되지 않을 때의 일상.